SUMA DE RIEMANN

Las sumas de Riemann son un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Llevadas al límite se obtiene la integral de Riemann.


                            

sea f(x) una función continua en [a, b]. Sea un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2,...xn} tales que a= x0<x1<x2...<xn = b.
consideramos la partición de este intervalo P=  {[x₀, x₁), [x₁, x₂), ... [x_n-1, x_n]}.


Entonces la suma de Riemann de f(x) es:

donde x_i-1 ≤ y_i ≤ x_i. La elección de y_i en este intervalo suele ser arbitraria.

• Si y_i = x_i-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda. 
• Si y_i = x_i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Ejemplo.

Hallar el area de la región bordeada por la gráfica de f(x)=(x-1)^2+2, en el intervalo x=-1 y X=2 mediante la busqueda del límite de la suma de Riemann.

Se divide [-1, 2]:

La enésima suma de Riemann es: 

el área de la suma de Riemann: 

ÁREA BAJO LA CURVA

Definición: Si f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a, b], el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x=a y X=b viene dada por: 


                                                                       
                                                             

en ella se ve que f es una funcion continua poaitiva (por encima del eje x), y la region R esta limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el area de la region R por medio de una integral definida aplicando la defincion anterior.

  Ejemplo. Hallamos el área de la región acotada por la curva f(x)= x^3 + x en el intervalo [-5, 5].


1. Trazo de la región: presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x.


                               

2. Planteamiento de la integral: si se observa la gráfica las rectas x=-5 y x=5 dividen la región en dos partes, A1 y A2 respectivamente. también se puede ver que le inetrvalo [-5, 5] se puede dividir en dos así : [-5, 0] y [5, 0]. Luego el área de la región coloreada viene dada por: 

3. Evaluación de la integral: ahora procedemos a evaluar la integral de la siguiente forma: 

luego el área de la región sombreada es de 675/2.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

INTEGRACIÓN POR PARTES

El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.




Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.


Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.


Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'. 


Ejemplo 1.











Ejemplo 2.

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 


El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.




Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una variable t, de modo que se tenga una integral mas sencilla.


Pasos para integrar por cambio de variable




1.  se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:






se despeja u y dx, sustituyendo la integral:



2. si la integral resultante es mas sencilla, integramos:




3.  se vuelve a la variable inicial:




Ejemplo.

• 

RELACIONES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Relación seno-coseno
cos² α + sen² α = 1


Relación secante-tangente
sec² α = 1 + tg² α


Relación cosecante-cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α


Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulo

• sen (a+b) = sen a cos b + cos a sen b
• sen (a-b)  = sen a cos b -  cos a sen b
• cos (a+b) = cos a cos b + sen a sen b
• cos (a-b)  = cos a cos b + sen a sen b
• tg (a+b)  = tg a + tg b/ 1- tg a . tg b
• tg (a-b)   = tg a - tg b/ 1 + tg a. tg b

FORMULAS COCIENTES NOTABLES

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma de las cantidades

(a² – b²)/(a + b) = a - b

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades

(a² – b²)/(a - b) = a + b

Cociente de la suma de los cubos de dos cantidades entre la suma de las cantidades

(a³ + b³)/(a + b) = a²  - ab + b²

Cociente de la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades

(a³ - b³)/(a - b) = a²  + ab + b²

FORMULAS PRODUCTOS NOTABLES

Binomio al cuadrado
(a ± b)² = a² ± 2 · a · b + b²


suma por diferencia
(a + b) · (a − b) = a² − b²


Binomio al cubo
(a ± b)³ = a³ ± 3 · a² · b + 3 · a · b² ± b³


Trinomio al cuadrado
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c


Suma de cubos  
a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

Productos de dos binomios que tienen un término en común

(x + a) (x + b) = x² + ( a + b) x + ab

FORMULAS DE INTEGRACIÓN

Integral de una constante


Integral de tipo potencial 
   

Integral de tipo logartimico             
 
Integral de tipo exponencial
   
 Integral de tipo exponencial base e         
  
Integral de tipo seno
 
Integral de tipo coseno   
 
Integral de tipo tangente


Integral de tipo cotangente


Integral de tipo arcoseno
     
Integral de tipo arcotangente

FORMULAS DE DERIVADAS

Derivada de una función constante


Derivada de x


Derivada de una función afín


Derivada de una potencia


Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Derivada de una constante por una función 


Derivada de un producto


Derivada de suma


Derivada de una constante partida por una función

Derivada de un cociente


Derivada de una función exponencial


Derivada de una función exponencial de base e


Derivada de un logaritmo

Derivada del seno


Derivada del coseno


Derivada de la tangente
 
Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante