REGLA DEL PUNTO MEDIO

Sea f una función continua en  [a, b]. La regla del punto medio para aproximar su integral viene dada por:

donde x i es el punto medio del i-ésimo subintervalo [x i-1, x i], es decir, x i = 1/2(x i-1, x i)


Ejemplo. Utilizar la regla del punto medio para aproximar e^(x^2) en el intervalo [0, 1] y en 4 partes iguales. 

ESTIMACIÓN DE ERRORES

Cuando se trabaja con aproximaciones es importante conocer con que precisión estamos calculando el valor de la integral. Ademas, es posible que algún método sea sensiblemente mejor que los demás, si bien puede que sea bajo ciertas hipótesis. A continuación enunciamos los errores que se cometen en las reglas de aproximación mas usuales.

1. Si f tiene derivada continua en (a,b) entonces el error Em cometido al  aproximar esta integral  por la regla del punto medio es

siendo M una cota superior para |f"|, es decir, |f"(x)|≤ M para todo valor de x.

2. si f tiene derivada segunda continua en (a,b), entonces el error Et cometido al aproximar la integral por la regla del trapecio es

3. si f tiene derivada cuarta continua en (a,b), entonces el error Es cometido al aproximar la integral por la regla de simpson es 

siendo M una cota superior para | f ^ 4|, es decir, | f ^ 4 (X) | ≤ para todo valor de x.